Tetrasyon: Sonsuzluğun Dördüncü Basamağı

Birçok gencin matematiği okullarda gördükleriyle sınırlandırması gibi büyük bir yanılgı vardır. Oysa ki tetrasyon, Ronald Graham sayısı ve nicelerini içinde bulunduran yekpare bir yelpaze olan matematiğe karşı olan bu tutumu bir nebze dahi olsa engelleyebilmek için bugün konumuz tetrasyondur.

Tetrasyon; bir sayının üs alma işleminin ardışık, birbiri üzerine tekrarlanan şekilde uygulanmasıyla elde edilen dördüncü temel hiperişlemdir. Doğal olarak soracaksınız ki: "Hiperişlem nedir?" Hiperişlemler, matematikte işlemlerin hiyerarşik olarak birbirinden türetildiği sistemdir. Sırasıyla hiperişlemler; toplama, çarpma, üs alma, tetrasyon, pentasyon, hektasyon ve daha yüksek hiperişlemlerdir. Bizim bugün ele aldığımız, dördüncü basamaktaki tetrasyondur.

Diyebilirsiniz ki: "Toplama, çarpma var ama bölme ve çıkarma neden yok?" Çünkü hiperişlem hiyerarşisi, bir işlemin tekrar edilmesiyle bir üst işlemin elde edilmesi ilkesine dayanmaktadır. Bölme, çarpmanın tersi olduğu için hiyerarşiye dâhil değildir. Çıkarma da toplamanın tersi olduğu için aynı şekilde dâhil değildir.

5 . 2 = 10 ==> 10 ÷ 2 = 5

10 + 5 = 15 ==> 15 - 5 = 10

Tetrasyon, ⁿx ile gösterilir. Mesela ³2, 2^(2²) şeklinde ifade edilir. Üs alma işlemi yukarıdan aşağıya doğru değerlendirildiği için önce 2² = 4 elde edilir. Ardından 2⁴ hesaplanır ve sonuç 16 olur. 

Peki, tetrasyon denilen matematiğin bu kısmı neden okullarda işlenmiyor? Çünkü tetrasyon, şu an ne kadar basit gözükse dahi aslında fazlasıyla kompleks bir konudur. Az önce ³2 tetrasyonunu ele aldık. Tabanı yalnızca bir sayı artırırsak, ³3 tetrasyonundan elde edeceğimiz sonuç 7 trilyon 625 milyar 597 milyon 484 bin 987 olur. ³3, 3^(3³) şeklinde ifade edildiğinde 3²⁷ elde edilir. Yalnızca tabanı bir sayı artırdık. Sonucunda elde edilen sayı ise önceki sonuçla devasa bir fark oluşturdu. Bundan ötürü tetrasyon, okullarda öğretilemeyecek kadar kompleks bir konudur. Okullarda hiperişlem hiyerarşisinde yalnızca üslü sayılara kadar olan işlemler öğretilmektedir.

Tetrasyonun ortaya çıkışı tek bir matematikçiye dayanmamaktadır. Aksine, matematikteki genelleştirme eğiliminin, mevcut kavramları daha geniş bir çerçeveye taşıma yaklaşımının doğal bir sonucudur. Tetrasyonun doğuşu, hiperişlem hiyerarşisine dayanmaktadır. Çarpma, toplamanın tekrarlanmasıdır. Üs alma, çarpmanın tekrarlanmasıdır. O hâlde, üs almanın tekrarlanmasıyla meydana ne gelir? sorusunu soran Reuben Goodstein, hiperişlem hiyerarşisini sistematik biçimde ele aldı. Ayrıca Goodstein'in asıl katkısı, tetrasyonu tanımlamak değildir. Asıl katkısı hiperişlem hiyerarşisini sistematik biçimde tanımlayan matematikçilerden biri olmasıdır.

Yalnız bir problem daha ortaya çıkmıştı. Tetrasyonun gösterimi nasıl olacaktı? Bilgisayar bilimci ve matematikçi Donald Knuth , Knuth yukarı ok gösterimi , Knuth up-arrow notation, olarak bilinen sistemi geliştirdi. Bu gösterimde 2↑↑3 ifadesi, ³2 ile aynı anlamı taşımaktadır. Daha yüksek hiperişlemler ise ↑↑↑ ve ↑↑↑↑ şeklinde devam etmektedir.

20.yüzyılın sonlarından itibaren tetrasyon, yalnızca bir merak konusu olmaktan çıkmıştır. Graham sayısı gibi büyük sayılar için bir eşik görevi görmüştür. Ayrıca Knuth yukarı ok gösterimi, bu tarz büyük sayıların gösteriminde sıkça kullanılmaktadır.

Günümüzde tetrasyonun tanımı açık olmasına rağmen, matematikçilerin hâlâ birçok özelliğini araştırdığı bilinmektedir. Bu nedenle tetrasyon, tamamlanmış bir konu olmaktan ziyade, hâlâ gelişmekte olan bir araştırma alanıdır.